Bacc Série D 1998 mathématiques corrigé

On considère la fonction f définie par f(x) = 1 + ln x
x
On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,~ı, ~) avec k~ı k = k ~ k = 2cm.
1. (a) Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.
(b) Étudier les branches infinies de (C).
2. (a) Déterminer le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses.On note par a1 son
abscisse.
(b) Montrer que (C) admet un point d’inflexion au point d’abscisse a4 que l’on précisera.
(c) Tracer (C).
3. Soit I = Z√ee
f(x)dx.
(a) Interpréter géométriquement I.
(b) Calculer I en cm2 à 10−1 près.
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4. On considère les nombres réels a1, a2, a3 et a4 tels que a1 et a4 sont définis dans la question
2 et a3 l’abscisse de l’extrémum de (C).
(a) Déterminer a2 pour que a1, a2, a3 et a4 constituent dans cette ordre les quatre premiers
termes d’une suite géométrique (an), n ∈ N∗.
(b) Exprimer an en fonction de n.
(c) Vérifier que l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse a2 passe par l’origine
O