Cours svt terminale C

SERIE.2 ETUDE DE FONCTIONS & SUITES PR : EL HACEN . SALEM
Exercice 1
Soit la suite (U_n) définie par son premier terme U_0=1/2 et la relation de récurrence : pour tout entier naturel n, U_(n+1)= U_n (2-U_n).
Soit la fonction f définie dans IR par : f(x)=x(2-x). montrer que f est strictement croissante dans l’intervalle [0 ; 1] et que, pour tout x∈[0 ; 1] , f(x)∈[0 ; 1]
En déduire, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que :
La suite (U_n) est majorée par 1 ;
La suite (U_n) est strictement croissante.
Exercice 2
Soit la suite (U_n) définie par son premier terme U_0=3/2 et la relation de récurrence : pour tout entier naturel n, U_(n+1)=U_n^2-2U_n+2.
Soit la fonction f définie dans IR par : 〖f(x)=x〗^2-2x+2. montrer que f est strictement croissante dans l’intervalle [1 ; 2] et que, pour tout x∈[1 ; 2], f(x)∈[1 ; 2].
En déduire, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que :
La suite (U_n) est minorée par 1 ;
La suite (U_n) est strictement décroissante.
En déduire la suite (U_n) est convergente et déterminer sa limite
Exercice 3
Soit la suite (U_n) définie par : U_(n+1)=1/2 U_n-1 et U_0=0.
Soit la suite (V_n) définie par : V_(n+1)=1/2 V_n-1 et V_0=-4.
Montrer que, pour entier naturel n, U_(n+2)-U_(n+1) a la même singe que U_(n+1)-U_n.
En déduire que la suite (U_n) est décroissante et la suite(V_n) croissante.
Montrer que la suite de terme général U_n-V_n est une suite géométrique. Exprime U_n-V_n en fonction de n.
En déduire que les suites (U_n) et (V_n) sont adjacente.
Exercice 4
On considère la suite (U_n ) définie par : U_0=2 et, pour tout entier naturel n U_(n+1)=U_n/2+1/U_n .
Etudier le sens de variation de la fonction : f(x)=x/2+1/x sur l’intervalle [√2 ; +∞[
Soit x un nombre réel. Montrer que, si √2≤x≤2, alors √2≤f(x)≤2.
En déduire que pour tout entier naturel n. √2≤U_n≤2.
Montrer que, pour tout x∈[√2 ; 2],f(x)≤x.
En déduire la suite (U_n ) est décroissante .
Justifier que la suite (U_n ) est convergente et déterminer sa limite
Problème1
Soit la fonction g définie sur IR par : g(x)=2x-√(1+x^2 )
Déterminer le sens de variation de la fonction g.
Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution unique ∝ que l’on déterminera.
En déduire le signe de g sur IR.
Soit la fonction f definie sur par : f(x)=2√(1+x^2 )-x et C_f sa courbe dans repère orthogonal. On note D et D’ les droites d’équations respectives y=-3x et y=x
Etudier les limites de f en +∞ et en -∞
Montrer que, pour tout réel x, f^' (x)=(g(x))/√(1+x^2 )
En déduire le tableau des variation de la fonction f.
Déterminer la limite en -∞ de f(x)-(-3x). Quelle conséquence graphique peut-on déduire de ce résultat ?
Montrer que la droite D’ est asymptote à la courbe C_f en +∞.
Etudier la position de C_f par rapport aux deux droites D et D’.
Tracer la courbe C_f, ainsi que les droites D et D’
Problème 2
On considère la courbe d’équation y=(x(ax+b))/〖2(x-c)〗^2 tels que a ,b et c sont des réels, dans un repère orthonormé ( O,i ⃗,j ⃗) (unité, 1cm).
Déterminer les réels a ,b et c pour que la courbe ait deux asymptotes d’équations respectives x=1 et y=3/2 et que la tangente en O ait pour équation y=-2x
Soit f(x)=(3x^2-4x)/〖2(x-1)〗^2
Etudier la fonction f : limites ,dérivée, variations.
Déterminer les tangentes en O en point d’abscisse 3/2
Etudier la position de C_f et y=3/2
Construire C_fet ses asymptotes et la tangente déterminées
Soit D_m : y=4x+m discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de
f(x)=4x+m